«Падающие» кольца

Я решил отправиться на съезд фокусников по двум причинам. Во-первых, я сам очень люблю показывать фокусы, во-вторых, я надеялся почерпнуть там что-нибудь новенькое для редактируемого мной отдела в Scientific American. Многие математики в свободное от работы время с удовольствием показывают фокусы, а многие фокусники проявляют живой интерес к математике. В результате возникла матемагия — один из наиболее ярких разделов занимательной математики.

В фойе верхнего этажа развернулась своеобразная ярмарка: человек двадцать фокусников развесили в небольших палатках свои «товары». Я остановился перед палаткой, в которой Великий Джаспер (псевдоним, под которым выступает на эстраде один чикагский фокусник) демонстрировал известный номер — «падающие» кольца. Выглядит этот фокус так. Цепочку хитроумно сплетенных между собой колец (см. рисунок) берут левой рукой за верхнее кольцо. Сразу под ним расположатся два других кольца. Большим и указательным пальцами правой руки фокусник берется за заднюю часть правого кольца так, как показано на рисунке. Когда фокусник разжимает пальцы левой руки, кажется, будто верхнее кольцо, перепрыгивая с одного звена цепочки на другое, опускается вниз и повисает, зацепившись за нижнее кольцо.

Фокус можно продолжить. Для этого большим и указательным пальцами левой руки следует взяться за переднюю часть левого из колец, висящих на самом верхнем кольце (которое фокусник теперь держит в правой руке). Когда фокусник разожмет пальцы правой руки, вы увидите, как верхнее кольцо начнет падать вниз, не пропуская по дороге ни одного звена цепи.

— Смогут ли мои читатели самостоятельно изготовить такую цепочку? — сказал я.

— А почему бы нет? — удивился Джаспер. — Кольца для ключей можно купить в магазине, а имея тридцать колец и крепкие ногти, ничего не стоит за двадцать минут сделать такую цепочку. Не говорите только другим фокусникам, что я это сказал.

Джаспер был прав. Кольца для ключей оказались великолепным материалом для цепочки. Если же вы захотите сберечь ногти, попытайтесь разжимать витки колец оборотной (тупой) стороной лезвия ножа. Слегка повернув лезвие, вы сможете держать кольцо открытым до тех пор, пока другое кольцо не проскользнет- в образовавшуюся щель. Удобнее всего начать с верхнего кольца, повесив его на гвоздик, и прицеплять к нему все остальные, следуя рисунку. Если все сделано правильно, кольца будут падать с приятным легким звоном.

Пока я разговаривал с Джаспером, к вам подошел Фитч Чини, математик из Хартфордского университета.

— Если вас интересуют фокусы, основанные на завязывании узлов или сцеплении колец, то я изобрел один фокус, который может понравиться вашим читателям.

С этими словами Чини достал из кармана длинный кусок мягкой веревки. Джаспер и я взяли ее за концы и, зацепив указательным пальцем левой руки, придали ей Z-образную форму (следующий рисунок, а), Чини вынул из кармана шелковый платок и, охватив им веревку, сначала туго завязал его простым узлом, а затем, продев концы платка сквозь веревочные петли (б), завязал внизу двойной узел (в).

— Теперь выньте ваши указательные пальцы из петель и натяните веревку.

Мы повиновались (г). Чини повернул платок на 180°, так что узел оказался сверху.

— Странно, — сказал он. Хотя платок охватывал веревку и был завязан в тугой узел, веревка теперь оказалась почему-то снаружи замкнутой кривой, образованной платком.

Фокус с веревкой и носовым платком

С этими словами он потянул платок вверх и снял его с веревки (д). Проделайте фокус сами, и вы убедитесь, что у вас он тоже всегда будет получаться.

Незадолго перед обедом фокусники собрались в коктейль-холле. У бара я заметил своего старого знакомого—банкомета из Лас Вегаса по прозвищу Ник Ставлю-Никель¹. Он был известен как человек, тщательно следящий за всеми новинками в карточных фокусах. (Свое прозвище Ник Ставлю-Никель получил за манеру заключать пари на пять центов. Все знали, что он плутует и его партнера всегда ожидает какой-то подвох, но кто побоится рискнуть пятью центами? Стоило пожертвовать монеткой только из одного интереса.)

— Какое-нибудь новое пари, Ник? — спросил я. — Желательно что-нибудь, связанное с теорией вероятностей, и чтобы спор решали не отходя от стойки.

Ник положил на стойку рядом со своим стаканом пива монету.

— Если я немного приподниму монетку над стойкой и брошу ее, то с вероятностью 1/2 она упадет вверх решеткой и с вероятностью 1/2 — вниз. Правильно?

— Правильно, — согласился я.

— Ставлю никель, — сказал Ник, — что монетка упадет на ребро и так и останется стоять на ребре.

— Идет, — кивнул я.

Ник окунул монетку в пиво, приложил к стакану снаружи и дал ей соскользнуть вниз. Монетка благополучно опустилась на поверхность стойки и осталась стоять на ребре у стенки стакана, удерживаемая силой сцепления пива. Я вручил Нику пять центов. Все засмеялись.

Ник оторвал от коробки сигарет узкую полоску картона и сделал на одной стороне пометку карандашом.

— Если я брошу эту полоску на стойку, то с вероятностью 1/2 она упадет помеченной стороной вверх. — Ставлю никель, — продолжал он, — что полоска упадет на ребро так же, как монетка.

— Принимаю пари, — ответил я.

Ник бросил полоску, но предварительно перегнул ее в виде латинской буквы V. Разумеется, она упала на ребро, и я потерял еще пять центов.

Какой-то незнакомец протиснулся к стойке и вынул из кармана маленький пластмассовый волчок.

— Вы видели когда-нибудь переворачивающийся волчок? — спросил он. — Ставлю никель, что если закрутите его, то он перевернется, встанет на ножку и будет продолжать крутиться на ней, пока не остановится.

— Не выйдет,—ответил Ник.—Я сам купил переворачивающийся волчок. Но ставлю никель, что вы не сможете предсказать, в каком направлении будет вращаться волчок после того, как он перевернется и встанет на ножку.

Человек с волчком закусил губу и задумчиво сказал:

Переворачивающийся волчок

— Давайте подумаем. Я запускаю его по часовой стрелке. Когда он поворачивается, то направление вращения относительно его собственной оси сохраняется неизменным. В то же время концы оси после переворота меняются местами. Но если концы оси поменялись местами, то, глядя на волчок сверху, мы увидим, что его направление вращения изменилось на противоположное. Итак, после того как волчок перевернется и встанет на ножку, он будет вращаться против часовой стрелки.

С этими словами он с силой запустил свой волчок. Через мгновение тот перевернулся. Ко всеобщему изумлению, волчок продолжал вращаться по часовой стрелке (см. рисунок). Купив в магазине игрушек такой волчок, читатель сможет убедиться в этом сам.

После банкета и вечернего представления участники съезда разошлись по номерам, чтобы поделиться последними новостями, профессиональными секретами и вообще поговорить о своем искусстве. Я с трудом разыскал комнату, в которой собирались «матемаги», фокусы которых основаны не столько на ловкости рук, сколько на тех или иных математических принципах. Я вошел как раз в тот момент, когда мой старый друг из Виннипега Мел Стоувер объяснял, каким образом с помощью двоичной системы счисления можно угадывать заранее задуманную карту.

Во многих карточных фокусах задуманную карту отгадывают так. Зрителю вручают колоду карт и просят, сняв верхнюю карту, переложить ее в низ колоды. Затем снять следующую карту и выложить ее на стол. Очередную верхнюю карту снова положить в низ колоды, следующую за ней — снова выложить на стол, и т. д. до тех пор, пока в руках у зрителя не останется одна единственная карта. Она-то и оказывается задуманной. В каком месте исходной колоды должна находиться задуманная карта, чтобы в конце она оказалась последней, оставшейся в руках зрителя? Положение задуманной карты в колоде, разумеется, зависит от толщины колоды, и ее место можно найти путем подбора. Однако для больших колод подобный экспериментальный метод чрезвычайно неудобен. К счастью, как объяснил Стоувер, двоичная система счисления позволяет без труд дать ответ, где должна находиться задуманная карта.

Вот как это делается. Запишем число карт в колоде в двоичной системе и перенесем единицу старшего разряда в конец числа. Число, которое получится в результате такой операции, совпадает с номером того места, на котором должна находиться задуманная карта, если считать по порядку, начиная с самой верхней карты в колоде. Предположим, например, что фокусник взял полную колоду из 52 карт. В двоичной системе число 52 запишется как 110100. Перенесем единицу старшего разряда в конец: 101001. В десятичной системе это число равно 41, следовательно, задуманная карта должна быть сорок первой, считая сверху.

Сколько карт должно быть в колоде, если мы хотим, чтобы последней осталась самая верхняя карта? Поскольку двоичная запись номера карты имеет вид 1, число карт в колоде может выражаться двоичными числами 10, 100, 1000, 10000, ... (или, в десятичной системе, 2, 4, 8, 18, ...). Если требуется, чтобы в руках у зрителя осталась нижняя карта, то в колоде должно быть 11, 111, 1111, 11111, ... карт (число карт записано в двоичной системе), или, в более привычных десятичных обозначениях, 3, 7, 15, 31, ... карт.

Может ли остаться вторая карта сверху? Нет. Более того, последняя карта никогда не может находиться на четном месте (считая сверху): порядковый номер карты, выраженный в двоичной системе, должен непременно заканчиваться единицей (поскольку старшая цифра числа, заведомо равная 1, была передвинута в конец), а все двоичные числа, оканчивающиеся цифрой 1, нечетные.

Затем слово взял Виктор Айген, о котором мы уже рассказывали в первой книге. Он показал замечательный новый фокус, связанный с кодированием информации.

— Я хочу заранее объяснить, что намерен сделать, — заявил он. — Каждый из присутствующих может перетасовать свою собственную колоду карт и выбрать из нее любые пять карт. Из пяти выбранных карт он должен оставить себе одну. Остальные четыре карты я имею право как угодно перекладывать. Взяв у кого-нибудь из вас эти четыре карты, я сложу их вверх рубашкой и верну владельцу, чтобы тот отнес эти карты в мой номер. В номере находится моя жена, которая будет мне ассистировать. Вы трижды постучитесь в дверь номера и подсунете принесенные карты под дверь, по-прежнему держа их рубашкой вверх. Ни вы, ни жена не произнесут ни слова. Изучив переданную ей тоненькую колоду, жена назовет отобранную карту.

Я попросил разрешения, чтобы фокус проверили на мне. Строго следуя инструкциям Айгена, я отобрал из своей колоды пять карт и вынул из них шестерку пик. Айген даже не прикоснулся к картам: он хотел исключить всякие подозрения, будто он незаметно помечает карты и таким образом передает жене дополнительную информацию. Верх и низ рисунка рубашки незначительно различаются, поэтому, варьируя верх и низ четырех карт, в принципе можно было бы передавать довольно большой объем информации. Если бы карты вкладывались в конверт, то объем передаваемой информации увеличился бы еще больше, так как можно было бы одни карты вкладывать вверх лицом, другие — вверх рубашкой, запечатывать конверт или оставлять его незапечатанным и т. д. Даже то обстоятельство, лежат ли карты в конверте или их передали без него, могло бы служить указанием на оставшуюся карту. Если бы Айген имел право выбирать ассистента для передачи карт жене, то этот выбор мог бы служить кодом: Айген мог бы выбирать блондинов или брюнетов, женатых и холостых, лиц, фамилия которых начинается с буквы, принадлежащей первой или второй половине алфавита, и т. д. Жена его могла бы подсматривать за теми, кто отбирает карты. То, что Айген заранее объявил все свои действия и совершенно не прикасался к моим картам, полностью исключало все эти возможности.

Я переложил оставшиеся у меня четыре карты в указанном Айгеном порядке и, узнав номер его комнаты, собирался уже отправиться туда, чтобы подсунуть карты под дверь, как вдруг поднялся Мел Стоувер.

— Минутку,—сказал он.—Откуда мы знаем, что Айген не передает нужную информацию, выбирая момент времени, когда вы постучите в его комнату? Делая вид, что он дает пояснения, Айген на самом деле мог оттягивать этот миг до тех пор, пока не наступит определенный интервал времени, заранее обусловленный между ним и его женой и являющийся поэтому частью кода.

Айген покачал головой.

— Никакого временного кода нет. Если угодно, можете подождать. Пусть Гарднер сам выберет, когда ему выходить из комнаты.

Мы подождали около пятнадцати минут, с восторгом наблюдая великолепные карточные фокусы Эда Марло. Затем я отправился к номеру Айгена, постучал три раза и, держа карты вверх рубашкой, подсунул их под дверь.

Послышались шаги, и четыре карты скрылись из виду. Через мгновенье, не больше я услышал голос миссис Айген.

— Вы оставили себе шестерку пик.

Каким образом Айген сумел передать эту информацию своей жене?

"Математические досуги"